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numerazione

Per numerazione s'intende un insieme di regole per enunciare e scrivere i numeri. Quando in tempi e luoghi diversi i numeri fecero la loro comparsa, si affacciò l'esigenza di un sistema che permettesse di indicarli, a voce e per iscritto, impiegando poche parole e pochi segni fondamentali. Ogni popolo escogitò un proprio sistema di numerazione parlato e scritto, nel corso della storia molti furono i sistemi che si affermarono e poi scomparvero. Ancora oggi permangono diversi sistemi, ma il più diffuso nel mondo è il sistema della numerazione decimale.

La base:
Ogni sistema si differenzia dagli altri per la base, la numerazione più usata è quella a base 10. Nel più antico sistema di numerazione la base era 5, perché 5 sono le dita della mano. I numeri, per iscritto, si indicavano con dei puntini o delle lineette impresse su tavolette d'argilla o papiri. La numerazione romana era a base 5 e 10. Questi due numeri si indicano con i segni V e X e le singole unità, indicate con il segno I, si intendevano aggiunte o sottratte secondo che fossero poste alla loro destra o sinistra.
I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Se definiamo come unità di 1° ordine quelle indicate dai numeri minori della base,la base stessa è una unità di 2° ordine. Gli antichi consideravano anche unità di ordine superiore e le indicavano con segni speciali. I Romani, per esempio incavano con le lettere L, C, D, M, i gruppi superiori a 50, 100, 500, 1000 unità.

numerazioni additive e principio di posizione

Le antiche numerazioni di definiscono additive perché per leggere i numeri scritti in quei sistemi occorreva sommare i valori di tutti i segni con i quali erano rappresentati. Per esempio nella num. romana il numero 673 è rappresentato dai simboli
DCLXXIII e cioè 500+100+50+10+10+1+1+1=673.
Tale scrittura additiva dei numeri rendeva però complessa l'esecuzione delle operazioni aritmetiche, per cui col tempo si andò affermando il principio di posizione. Cosicché per eseguire i conteggi si tracciavano delle righe per terra e fra una riga e l'altra si collocavano delle pietruzze che costituivano le unità contate. Gli spazi compresi tra le righe corrispondevano ai vari ordini e ciascuna pietruzza valeva una unità dell'ordine corrispondente allo spazio nel quale era collocata, sicché il suo valore dipendeva dalla sua posizione rispetto alle righe. In seguito invece di tracciare righe per terra, si utilizzò un apposito strumento, che i Romani chiamarono abacus: costituito da una tavoletta di legno o terracotta con delle scanalature parallele nelle quali si disponevano le pietruzze, dette calculi, da cui la parola calcolo per indicare qualsiasi procedimento operativo.

numerazione posizionale

Nel Medio Evo l'abaco fu semplificato in questo modo: sulla tavoletta erano incise quattro righe parallele e negli spazi tra esse si collocavano dei dischetti contrassegnati da nove segni differenti, le "cifre" per le unità da 1 a 9.
In ogni spazio si collocava un solo dischetto e questo rappresentava un numero dato dalla cifra indicata dal dischetto stesso ma di ordine relativo allo spazio in cui il dischetto era collocato. In seguito quando si cominciò a scrivere sulla carta, si pensò di fare a meno dell'abaco, lasciando che ogni cifra indicasse con la sua sola posizione l'ordine delle unità. Per indicare la mancanza di qualsiasi unità in qualcuno degli spazi dell'abaco si usò dapprima un semplice puntino e poi finalmente lo zero. L'invenzione e introduzione dello zero segnò il tramonto delle numerazioni additive e il sorgere delle numerazioni posizionali. La num. posizionale con l'utilizzo delle cifre, ci viene dall'India, dove le prime tracce di tale sistema risalgono al VI sec. d.C., ma la sua origine è ignota. Dopo l'anno 1000 fece la sua apparizione in Occidente per opera degli Arabi, la cui civiltà era più vicina a quella indiana. Nel 1202 l'italiano Leonardo Pisano, detto Fibonacci, dopo aver appreso durante i suoi viaggi in Oriente l'aritmetica coltivata dagli Arabi, la diffuse in Europa con il suo trattato Liber Abaci (libro dell'arte di fare i conti). Le cifre utilizzate per la scrittura posizionale dagli Indiani presero forma diversa secondo i luoghi e i tempi. La loro forma moderna risale al 1300 ca. inoltre vengono definite arabe, ma è incerta la loro origine.

numerazione ROMANA

La numerazione romana si basa su 7 cifre fondamentali:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1000

e su 6 gruppi base:

IV	IX	XL	XC	CD	CM
4	9	40	90	400	900

In questi gruppi la cifra a sinistra s'intende sottratta a quella a destra (IV=4=5-1). Tutti gli altri numeri si ottengono mediante varie combinazioni dei sette simboli fondamentali e dei sei gruppi base. I gruppi base sono gli unici casi in cui si indica un numero con una sottrazione, infatti 49 non si scrive con il simbolo IL (50-1), ma si deve scrivere ordinatamente XLIX (40+9). Più precisamente i numeri romani si scrivono collocando alla destra di una cifra fondamentale o di un gruppo base le altre cifre necessarie, in modo che la somma di tutte le cifre scritte sia uguale al numero che si vuole indicare.
XCIX = 99
CI = 101
CIV = 104
DXXXVII = 537
DCXL = 640

Alcune regole particolari:
I primi 3 multipli dei simboli base I, X, C, M, si ottengono ripetendo i simboli.
Ad esempio XX=20, XXX=30, questi simboli possono essere ripetuti solo tre volte.
I simboli V, L, D, non si ripetono mai.
Mediante queste regole il numero più alto che si può scrivere è 3999=MMMCMXCIX (3000+900+90+9) e infatti si è visto che il simbolo M non si può ripetere più di tre volte e non c'è nessun simbolo fondamentale superiore a M. Per ovviare a questo e proseguire la numerazione, i Romani usavano un'accorgimento particolare, ponendo sopra il simbolo una lineetta ¯ e con questo intendevano moltiplicare per 1000 il valore dei numeri. Per moltiplicare poi un numero per 100000, oltre alla linea superiore gli si aggiungevano due linee verticali |¯| tali da incorniciarlo.

numerazione binaria

Uno dei sistemi di numerazione più usati nell'antichità, è il sistema binario, cioè a base 2, costituito da sole due cifre, 0 e 1. In questo sistema i numeri sono ottenuti sommando i prodotti delle cifre 0 e 1 per le potenze decrescenti di 2. Ad esempio il numero 9 nel sistema binario viene indicato dalla sequenza 1 0 0 1 ed è uguale a:
1 x 2³ + 0 x 2² + 0 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 8 + 0 + 0 + 1 = 9.
Da cui mediante le prime quattro potenze di 2: 2⁰= 1; 2¹= 2; 2²= 4; 2³= 8, si possono definire i primi 16 numeri.

2³	2²	2¹	2⁰	num. decimali
0	0	0	0	0
0	0	0	1	1
0	0	1	0	2
0	0	1	1	3
0	1	0	0	4
0	1	0	1	5
0	1	1	0	6
0	1	1	1	7
1	0	0	0	8
1	0	0	1	9
1	0	1	0	10
1	0	1	1	11
1	1	0	0	12
1	1	0	1	13
1	1	1	0	14
1	1	1	1	15

Tale sistema si trova alla base dei calcoli eseguiti con i circuiti elettrici, infatti attribuendo al valore "1" un'impulso di corrente, e al valore "0" la sua mancanza, è possibile trasmettere o registrare dei numeri mediante il sistema binario. Combinando più circuiti elettrici basati su questo sistema si realizzano i calcolatori (perlomeno come concetto).